均匀设计

这个方法是做什么的

不读数据表，按“试验次数 n”与“因子数 k”生成一张 U_n(n^k) 均匀设计表：每个因子被切成 n 个水平，每个水平只做一次，用 n 次试验把点铺满 k 维试验空间。它的准则不是正交，而是偏差最小——引擎在所有与 n 互素的候选生成向量里，挑中心化 L2 偏差 CD2 最小的那一组。实测 n=11、k=5 选出的生成向量是 h=[1,2,3,5,7]、CD2=0.19187，用 11 次试验去覆盖名义上 11^5=161,051 种组合所在的空间。

第四张卡的评价指标不是套用文献常数，而是现场生成 200 份同规模的随机拉丁超立方作对照：给出本设计 CD2 与基准均值的比值、maximin 距离与最近邻距离、列间最大相关、一阶模型 VIF 与 D-效率。它还列了两条硬约束：纯误差自由度（均匀设计无重复点，恒为 0），以及二阶模型可行性——把 n 与二阶参数个数 p = 1+2k+k(k−1)/2 直接摆在一起比。

什么时候用它

因子多、每个因子都想取很多水平，而单次试验很贵
因子全是定量的、响应大概率非线性，但预算撑不起中心复合或 Box-Behnken 那种规模
先在大范围内粗筛出有潜力的区域，再在该区域内上二阶设计做精细寻优——卡⑤ 的结论文案就是这么建议的两阶段用法
水平数既不是 2 也不是素数，正交表排不下

前提：试验次数 n 取 4–31、因子数 k 取 2–10，且必须 k<n。生成向量的各分量要与 n 互素且互不相同，所以 n 取素数时可容纳的因子最多；实测 n=12 想放 5 个因子会直接报错“试验次数 n=12 的可用生成元不足 5 个，请改用 n+1 或其它次数”。

什么时候不要用它

要对因子做显著性检验：均匀设计既无重复也不保证正交，卡⑤ 第 5 步逐字写着“不要用方差分析——均匀设计没有重复、也不保证正交，方差分析的前提不成立”。要 p 值请改用「正交设计」并在选表时留出剩余自由度，取得数据后用「极差分析」。
要拟合完整二阶模型找最优点：n 往往不够，实测 n=11、k=5 时二阶模型要 21 个参数而只有 11 个点。正确的次序是先用本模块粗筛出关键因子（压到 5 个以内），再用「中心复合设计(CCD)」或「Box-Behnken设计」在小范围内排点，最后用「响应面分析(RSM)」建模——不要指望一张均匀设计表同时干完筛选和寻优两件事。
只有 2~3 个因子、水平也不多：用「全因子设计」更省心，而且完全没有别名。
某个因子在工艺上只能调固定的三档：均匀设计会把它切成 n 个水平，改用「正交设计」或「Box-Behnken设计」。
试验已经做完、手上是响应数据：本模块只出方案；均匀设计的数据用「线性回归 (最小二乘法)」建模，项太多时用「逐步回归」筛。

容易误读的地方

把因子数推到接近试验次数时，“均匀”会名存实亡——而报告会如实告诉你。 实测 n=13、k=10 的相对偏差比是 1.1020，卡④ 的判定写的是“劣于基准均值（>1.00），建议改变 n 后重新生成”：这张精挑细选的表，比 200 份随机拉丁超立方的平均水平还不均匀。对照 n=11、k=5 是 0.9098，n=31、k=10 是 0.9577。所以要看这个比值，不要盯 CD2 的绝对值——卡① 结论文案明说不同 n、k 之间的 CD2 不可直接比较。
没有重复点，纯误差自由度恒为 0，失拟检验做不了。 后果实测过：把本模块生成的 U11(11^3) 配上响应喂进「响应面分析(RSM)」，它的前提检验判“不满足——完全没有重复试验点，纯误差不可估计，失拟检验无法开展，本报告不对模型是否失拟作任何断言”。要失拟检验，就按卡⑤ 第 3 步自行挑 2–3 个点各重复测量 2 次，或在设计之外补做几个中心点。
n 刚够 p 不等于模型算得出来：均匀设计的列之间有代数关系，二阶模型可能直接秩亏。 实测 U11(11^3) 的二阶模型有 10 项而模型矩阵的秩只有 9，U17(17^4) 有 15 项而秩只有 13。把前者喂进「响应面分析(RSM)」，前提检验的“模型矩阵满秩”一行报“秩亏——存在与截距或彼此完全共线的项，其系数不可识别”。看到这一行就不要再读下面的系数表和最优点，回头减少模型项或增大 n。
列间相关不是缺陷，但它决定了你能不能把两个因子分开。 实测 U7(7^3) 与 U11(11^5) 的列间最大相关都是 0.5000，U31(31^10) 是 0.3125。卡④ 表注明说，均匀设计的目标函数是偏差而非正交性，列间相关大于 0 是方法的固有特征。代价是回归系数会随模型里放不放对方而变——这是设计阶段就注定的，事后换任何分析方法都补不回来。
“水平平衡：通过”是构造保证的，不能当作这张表质量好的证据。 每一列都是 1…n 的一次排列，所以任一因子的一维投影必然完全均匀，卡③ 的结论文案专门说明了这一点：真正刻画均匀性的是二维及以上，也就是 CD2 与最近邻距离。看到这行“通过”而不看相对偏差比，等于什么也没看。