CUSUM累积和控制图

所属分类：质量控制

这个方法是做什么的

专门用来抓小幅但持续的均值漂移。休哈特图逐点判断“这一个点离不离谱”，而 CUSUM 把每个观测与目标值 μ0 的偏差累加起来：C⁺ᵢ=max(0, C⁺ᵢ₋₁+(xᵢ−μ0−K))、C⁻ᵢ=max(0, C⁻ᵢ₋₁+(μ0−K−xᵢ))，任一侧越过决策区间 H 即报警。K 叫松弛量（小于 K 的偏差不累积，防止噪声堆积），H 叫决策区间；两者都以过程标准差为单位由控件给定，默认 k=0.5σ、h=5σ。σ 由平均移动极差反估（σ=MR̄/1.128），因此行序必须是真实的采集顺序。

它的输出围绕“漂移有多大、发生在哪一段、这套参数多久能发现”组织。卡②除累积和明细外，给 Mann-Kendall 单调趋势检验与信号段数的泊松近似检验；卡④用 Montgomery 的反推式把累积和折回偏移量估计 δ̂（演示为 δ̂⁺=1.268σ、δ̂⁻=−1.221σ），给一张由 Siegmund 解析近似算出的 ARL 曲线并逐行与休哈特单值图对照，再把序列切成若干“累积段”（C± 从离开 0 到再次归零的区间）逐段做相对 μ0 的单样本 t 检验。报告还有一个别处少见的机制：前提被拒时会给相关结论打上折扣标签——演示数据正态性（p=0.012）与独立性（p=0.006）都被拒绝，于是 ARL 表与信号段检验旁边都挂着说明，指出名义 ARL₀ 系高估、该检验的 p 偏小属反保守。

需要准备什么数据

• 放入[定量]测量值序列：1 个

数据要求

• 数据表至少 25 行。
• 单列缺失率不超过 10%。
• 不接受取值全都一样的列（零方差列没有可分析的变异）。

以上条目由系统从该方法的校验规则直接生成，与上传数据时的实际拦截规则一致。

什么时候用它

• 已知工艺标称值，要监控过程中心有没有慢慢偏离它（灌装量、配比浓度、炉温）
• 休哈特图长期不报警，但你怀疑过程已经整体挪了半个到一个 σ
• 需要给出“漂移大约有多少个 σ”的量化结论，而不只是“报警了/没报警”
• 需要把排查范围收窄到某一段时间：累积段天然给出了漂移的起止区间

前提：每行是一个按时间先后排列的单值观测（不是子组汇总值）；受控时观测近似正态且相互独立——累积和对自相关格外敏感；测量列不得为常数（否则 MR̄=0，K 与 H 全部退化为 0）。数据要求把行数下限定在 25，少于 25 行会被前置校验拦下。控件里的目标值 μ0 建议按工艺标称值显式填写，留空时取样本均值，后果见下文。

什么时候不要用它

• 要抓的是突发跳变而不是缓慢漂移：卡④的 ARL 对照表显示 3σ 幅度的偏移，CUSUM 需 2.4 个观测、休哈特单值图只需 2.0 个——这一档上休哈特更快，用「单值-移动极差(I-MR)控制图」。
• 每个时点能取到多件样本：子组均值本身就压低了噪声，用「X-bar/R 控制图」或「X-bar/S 控制图」更省事，也便于同时监控组内波动。
• 序列存在显著自相关：正自相关会让累积和持续同向堆积、误报暴增，先用「时间序列分析(ARIMA)」建模再对残差作图；想先看清自相关结构用「(偏)自相关分析」。
• 只想知道序列有没有单调趋势、或想定位一次水平突变的时点：前者用「Mann-Kendall趋势检验」（就是卡②里那一项的独立版本），后者用「突变点检测(Pettitt)」——CUSUM 的报警点必然滞后于真实变点，不适合定位。
• 数据是原始计数而不是测量值：别把计数直接喂进来，用「P 图」「np 图」「c 图」或「u 图」，它们的控制限来自二项/泊松分布。例外是你要抓的正是计数的小幅持续漂移（那恰好是 3σ 计数图的短板）：可先自己算一列标准化残差 z（如 (cᵢ−c̄)/√c̄）再喂进本图，并把控件里的目标值 μ0 显式填 0——留空会取 z 序列自己的均值，等于把整批一起偏这件事抵消掉；另注意 σ 仍由 MR̄/1.128 反估而不是取 1。
• 要抓的是波动（方差）变化而不是均值漂移：本图只监控中心，请用「X-bar/R 控制图」的 R 图或「单值-移动极差(I-MR)控制图」的 MR 图。

容易误读的地方

• μ0 留空的代价比想象中大：整批一起偏，CUSUM 一点也看不出来。 留空时 μ0 取本批样本均值，累积和是相对“这批数据自己的中心”算的，于是全批系统性偏离标称值这件事被构造性地抵消掉了。证据就在报告里：卡④“整体标准化偏移 (x̄−μ0)/σ”演示值恒为 0.000，说明栏直接写它此时不提供信息；卡②的表注也说明因为 H₀ 由构造方式恒成立，此时不列单样本 t 检验。有标称值就一定要填进控件。
• 报警点不是漂移的起点，排查要往前回溯到累积段的起始处。 累积和需要时间把小偏差攒到 H 以上，所以首次报警必然滞后。卡④表注给了正确做法：排查特殊原因应从该累积段的起点（上一次 C± 归零处）开始，而不是从红点开始。演示数据首次失控在第 29 点，而它所属的上侧累积段是“观测 27~39”。拿着报警点去查当班记录，很可能查的是漂移已经发生之后的时段。
• “CUSUM 比休哈特灵敏”这句话必须带上偏移幅度。 卡④把两者并排列了出来：0.5σ 时 38.0 对 155.2、1σ 时 10.3 对 43.9，CUSUM 快得多；到 2σ 是 3.9 对 6.3，优势缩小；到 3σ 变成 2.4 对 2.0，休哈特反而更快。原因是累积机制天生要攒几个点，而大跳变一个点就够。所以 CUSUM 不是休哈特的升级版，是补充——现场常见做法是两张图并用。
• 前提一旦被拒，ARL 与信号段检验就只剩量级参考价值。 演示数据 Shapiro-Wilk p=0.012、Ljung-Box p=0.006（r₁=0.301），报告随即在两处挂上折扣说明：ARL 由 Siegmund 的正态-独立近似求得，正自相关会让累积和持续同向堆积，真实 ARL₀ 明显小于名义值；而信号段数检验的期望段数就等于 n/ARL₀，ARL₀ 被高估 ⇒ 期望段数被低估 ⇒ p 偏小、属反保守。演示里那个 p<0.001 看着很硬，报告自己写明它“不足以据此单独断言存在特殊原因”。
• CUSUM 报警而分段 t 检验不显著，恰恰是它设计目的的体现。 演示数据 12 个时点越过 H，但 8 个累积段经 Holm 校正后显著的是 0 个。卡④对此有解释：t 检验问“这一段的平均值相对段内波动是否够大”，CUSUM 问“持续同向的小偏差累加起来是否越过了 H”。0.5σ~1σ 这种量级正是前者检不出、后者能抓住的区间。把段 t 检验不显著读成“CUSUM 报了假警”，是把两个不同的问题当成了同一个。
• σ 被漂移污染后，K 与 H 会一起变松。 σ 由移动极差反估、K=kσ、H=hσ，三者同比缩放。用一段已经含失控点的数据建参数，σ 偏大 ⇒ H 偏宽 ⇒ 后续检出能力下降，卡⑤的结论文案专门提示不要把这样的参数固化为长期基准。演示数据 σ/s=0.786 已经在提示序列存在漂移或离群点。

报告里有什么

1. 输出结果一：数据概览与前提检验
2. 输出结果二：控制参数与稳态检验（主结果）
3. 输出结果三：CUSUM 控制图可视化
4. 输出结果四：效应量与事后分析
5. 输出结果五：结论与解读