线性回归功效

所属分类：功效分析

这个方法是做什么的

回答“一个含 k 个自变量的多元线性回归，要检出模型整体的解释力，总共需要多少例”，以及“现有这批数据，整体 F 检验的把握有多大”。拖入 1 个定量因变量和若干个定量自变量，控件里只填显著性水平 α（默认 0.05）。效应量是回归专用的 Cohen's f² = R²/(1−R²)，由真实的 OLS 拟合得到；惯例是 0.02 小、0.15 中、0.35 大，分别对应 R² 约 0.02、0.13、0.26。注意它检验的原假设是“全部回归系数同时为 0”，不是某一个自变量。

卡① 给样本构成、各变量描述统计、逐个自变量的 VIF 与容忍度，以及前提检验表：样本量是否大于自变量数加 1、每自变量观测数 n/k 是否达到 10 的经验下限、最大 VIF、残差的 Shapiro-Wilk 与 Breusch-Pagan 同方差检验。卡② 先列 R²、调整 R²、f² 与非中心参数 λ = f²·n，再给事后功效和达到 80% / 90% 功效所需的总样本量。卡③ 是功效随总样本量变化的曲线（k 固定）。卡④ 给四张表：MDES(f²) 及其换回的最小可检出 R²、α 三档对照、自变量个数 k 的敏感性、以及把解释力换成调整 R² 与 ×0.75 / ×0.50 的保守情景。卡⑤ 是速览表与论文表述。引擎是 scipy.stats.ncf（非中心 F），df₁ = k，df₂ = n − k − 1。

需要准备什么数据

• 放入[定量]因变量：1 个，定量变量（数值）
• 放入[定量]自变量：至少 1 个，定量变量（数值）

数据要求

• 数据表至少 20 行。
• 单列缺失率不超过 30%。
• 不接受取值全都一样的列（零方差列没有可分析的变异）。

以上条目由系统从该方法的校验规则直接生成，与上传数据时的实际拦截规则一致。

什么时候用它

• 建模研究设计阶段，论证“带 5 个预测变量的回归要收多少例”
• 已有数据，想知道现有样本能检出多低的整体解释力（换算成 R² 门槛）
• 在“再加两个预测变量”和“再收 50 例”之间权衡，看卡④ 的 k 敏感性表
• 审稿要求补样本量论证，需要 MDES 与其对应的 R² 门槛
• 用预实验模型的调整 R² 做保守情景，为正式研究定例数

前提是设计矩阵满秩（自变量之间不能完全共线）、样本量大于自变量数加 1（否则没有残差自由度），以及 OLS 的常规假定：残差近似正态、同方差。卡① 把能查的都查了，包括 VIF 与 Breusch-Pagan。自变量拖拽区只接受定量列，分类预测变量得先自己做成哑变量，且每个哑变量都要计入 k。

什么时候不要用它

• 真正关心的是某一个自变量的偏效应：本模块只算整体检验，卡④ 的结论文案也写明了这一点。单个变量的功效要用它的增量 f² = ΔR²/(1−R²)，那是「分层回归」里的 ΔR²；两者所需样本量通常差很多。
• 因变量是二分类：用「逻辑回归」做分析。产品没有它的功效模块，线性回归的 f² 与 R² 口径搬不过去。
• 只有一个自变量：用「相关分析(Pearson)功效」更直观——它与本模块 k = 1 时等价，但效应量直接就是 r，不必绕 R² 与 f²。
• 自变量是分组变量：拖拽区只收定量列。若因素只有一个、水平数不多，直接用「单因素方差(ANOVA)功效」，它按 Cohen's f 给按组均分的总样本量。
• 自变量高度共线、目的是稳住系数：加样本解决不了共线本身。先用「VIF共线性诊断」定位问题变量，必要时改用「岭回归(Ridge)」这类有偏但更稳的估计。
• 只想拟合模型、看系数和显著性：那是「线性回归 (最小二乘法)」的事，本模块不输出 p 值，卡② 的图注专门声明整体 F 检验属于回归模块的职责。

容易误读的地方

• 整体功效 1.0000 不代表你关心的那个系数也稳。 整体 F 的原假设是“全部系数为 0”，拒绝它只说明这组自变量合起来解释了点东西。完全可能出现整体功效饱和、而某个核心自变量的系数仍不显著的局面——那个变量的功效取决于它自己的增量 ΔR²，和整体 R² 是两码事。要论证它，得去「分层回归」里取 ΔR²，本模块给不出。
• 卡② 的达标样本量小得可疑时，别照单全收。 本例 f² = 0.5573 下 80% 功效只要 24 例。这个数只保证整体 F 检验能拒绝原假设，完全不保证系数估计稳定。卡① 的前提表里还有另一条底线：每自变量观测数 n/k ≥ 10（数据要求里写的是 10~20 的经验区间）。k = 3 时按这条底线至少要 30~60 例，比 24 大。两条底线要取严的那条，样本量论证里也应把 EPV 一并写上。
• R² 是偏大的估计，f² 与事后功效跟着偏乐观。 卡① 的结论文案原话：R² 在小样本、多自变量时会被系统性高估。卡④ 第四张表就是为此准备的——观测 R² = 0.3578 需 24 例，换成调整 R² = 0.3412 需 26 例，×0.75 需 34 例，×0.50 需 55 例。更极端的失效模式写在数据要求里：R² 接近 1 时 f² 会急剧放大、所需样本量趋近最小值，这种时候该怀疑的是过拟合，而不是庆幸样本量够用。
• 事后功效与整体 F 的 p 值是同一份信息。 本模块只有 α 一个控件，没有地方输入目标 R²，f² 只能由这次拟合估出来，非中心参数 λ = f²·n 也就完全由 R² 与 n 决定；而整体 F 统计量同样只由 R²、n、k 决定。两者一一对应，用事后功效说“模型不显著是因为样本量不够”是循环论证。设计阶段该代入的 R² 来自文献里同类模型的报告值，或专业上认为“值得建这个模型”的最低解释力。
• k 敏感性表要正着读，别反着用。 表注把它定位成“不要往模型里塞无关变量”的定量依据：固定 f² = 0.5573，k 从 1 涨到 8，达 80% 功效所需总样本量从 17 涨到 36，因为加变量同时抬高分子自由度并稀释残差自由度。但反过来“删掉变量就能省样本”不成立——删掉有解释力的变量会同时压低 R² 与 f²，这张表是固定 f² 只改 k 的对照，现实中两者是一起动的。同理，卡① 的 VIF 高也别理解成功效不够：表注写明共线性不影响整体 R² 与整体 F，因而不影响本模块的结论，它毁掉的是单个系数的可解释性。

报告里有什么

1. 输出结果一：数据概览与前提检验
2. 输出结果二：功效与所需样本量
3. 输出结果三：功效曲线
4. 输出结果四：敏感性分析（MDES 与 α/自变量数/效应量敏感性）
5. 输出结果五：结论与样本量报告表述