Gamma 回归

所属分类：广义线性模型

这个方法是做什么的

因变量是严格大于 0 的连续量——住院费用、理赔金额、维修时长、生化浓度、销售额——而且右偏、方差随均值一起变大时用它。Gamma 回归用 Gamma 分布配对数链接拟合：系数 B 是对数期望上的加性效应，取指数后的 exp(B) 是乘性倍数，读作“该自变量每增加 1 个单位，因变量的期望变成原来的 exp(B) 倍”。分布族与链接函数都是写死的，页面上没有切换开关；也没有分组或簇变量的入口，观测必须彼此独立。

除显著性，报告给出模型整体的似然比检验、McFadden / Cox-Snell / Nagelkerke 三个伪 R²、AIC/BIC、Deviance 与 Pearson χ² 各自除以残差自由度、以及 Pearson 离散参数 φ̂。卡④ 另有一张逐变量 Type III 似然比检验：每一行都是真把该变量剔掉、重新拟合缩减模型再与全模型比似然，定类变量的多个哑变量在那里被当作一个整体检验。卡① 逐条核对前提：因变量的最小值、变异系数 CV 与偏度、数值自变量的 VIF、被自动剔除的常量变量。定类自变量可以直接拖进来，按参照编码自动展开为哑变量。

需要准备什么数据

• 放入因变量 (Y)：不限
• 放入自变量 (X)：至少 1 个

数据要求

• 数据表至少 30 行。
• 单列缺失率不超过 20%。
• 不接受取值全都一样的列（零方差列没有可分析的变异）。

以上条目由系统从该方法的校验规则直接生成，与上传数据时的实际拦截规则一致。

什么时候用它

• 住院费用与年龄、病种、住院天数的关系，想说“贵百分之多少”而不是“贵多少元”
• 理赔金额、任务耗时、设备维修时长这类不可能取负、右边拖着长尾的指标
• 反应时、浓度、浓缩倍数等正值偏态测量的多因素建模
• 用最小二乘跑完发现残差随预测值增大而发散，想换一个方差随均值增长的模型

因变量含 0 或负值会在入口被直接拒绝（报错文案是“必须全部大于 0”），不会静默平移或截断。Gamma 假定的是“标准差与均值成正比”，即方差正比于均值的平方、各观测的变异系数大致恒定；卡① 把 CV 与偏度打出来供你核对，偏度接近 0 或为负时会打“注意”。极大似然是大样本方法，有效样本量要远大于参数个数。

什么时候不要用它

• 因变量含 0 或可能为负：用「线性回归 (最小二乘法)」；若只是右偏又含 0，先做「数据变换(Box-Cox/Yeo-Johnson)」再回到「线性回归 (最小二乘法)」。
• 因变量是非负整数计数（投诉件数、发病次数）：用「计数数据回归」；0 特别多时用「零膨胀计数回归(ZIP/ZINB)」。
• 因变量是二分类或等级：用「逻辑回归」；等级用「有序逻辑回归」。
• 观测之间不独立（同一批对象反复测量、同一家医院内的病人）：本模块没有簇变量入口，标准误会被低估。想要总体平均效应用「广义估计方程（GEE）」，它有 Gamma 族；因变量是计数或二分类、又要量化组间异质性用「广义线性混合模型（GLMM）」；因变量是正态连续的分层数据用「混合模型」。
• 自变量之间高度共线：系数会极不稳定。细查用「VIF共线性诊断」，严重时改用「岭回归(Ridge)」或「Lasso回归」。
• 只想比较几组正值偏态指标的高低，不需要回归：两组用「独立样本 Mann-Whitney U 检验」，三组及以上用「多独立样本Kruskal-Wallis检验」。

容易误读的地方

• McFadden 伪 R² 在这里不是量纲不变量，换个单位数字就变。 实测：把因变量从“万元”改记成“元”（乘 100），同一份数据、同一个模型，McFadden 由 0.0800 掉到 0.0378、AIC 由 917.768 涨到 2023.008，而似然比检验 χ²(3) = 79.064、Cox-Snell 0.4826、Nagelkerke、Deviance/df 全部纹丝不动。原因是因变量连续时对数似然是概率密度的对数，换量纲会给全模型和空模型同时加上一个常数，比值随之改变。所以伪 R² 与 AIC/BIC 只能在因变量单位完全相同的模型之间比。报告里“McFadden 在 0.2~0.4 之间通常即视为拟合良好”那条经验线出自二分类选择模型，照搬到连续因变量上会把一个不错的模型判成很差——本例同一个模型的 McFadden 是 0.0800、Nagelkerke 却是 0.4827。
• exp(B) 是乘性倍数，不是“增加多少”，而且绑死在自变量的单位上。 广告投入 B = 0.075、exp(B) = 1.0781 的意思是“每多投 1 万元，月销售额的期望变成原来的 1.0781 倍（约 +7.8%）”，不是“多 7.8 万元”。门店面积的 exp(B) = 1.0009 看上去几乎等于 1，那是因为它按“每 1 平米”算——换成每 100 平米就是 1.0009 的 100 次方、约 1.09。单位很小的变量（元、天、毫升、平米）要先换算成有意义的刻度，报告时写明 exp(B) 对应每增加多少。
• 卡① 的偏度告警指向“该不该用 Gamma”，不是“数据不合格”。 示例数据的因变量偏度 = -0.4141，模块打出“注意：接近对称或左偏；Gamma 主要适用于右偏的正值数据，此处可与正态/对数正态模型对照”，然后照样把整份报告算完。左偏或近对称的正值数据用 Gamma 不会报错，但“方差正比于均值平方”这条假定多半不成立，标准误会有偏。看到这一行就该拿「线性回归 (最小二乘法)」跑一遍作对照，而不是当它没出现。
• Deviance/df 与 Pearson χ²/df 在 Gamma 回归里不按“是否等于 1”判读。 这两个比值是泊松族与二项族的过离散判据，因为那两族的离散参数被固定为 1；Gamma 的离散参数本身就是要估的自由参数，Pearson χ²/df 正是它的矩估计——本例 0.0291 同时被当作 φ̂ 报出来，含义是条件变异系数约为 0.17（0.0291 的平方根），而不是“拟合差了 34 倍”。卡④ 那句“Deviance/df 明显大于 1 提示模型对数据的拟合不足或存在未纳入的异质性来源”是广义线性模型的通用话术，读 Gamma 的结果时要带着这个背景。
• 系数表的 Wald p 与卡④ 的 Type III 似然比 p 不一致是正常的，冲突时以后者为准。 卡⑤ 的速览把两套显著变量集合分成两行并列打出来，表注写明“小样本时以似然比结论为准”。差别的来源是：Wald 检验逐个哑变量做、且在系数很大时会失真；Type III 那一行是真剔真拟合，并把一个定类变量的全部哑变量当成整体检验。所以定类自变量只要有一个水平在卡② 里显著，别急着说“这个变量显著”，要看 Type III 的那一行。

报告里有什么

1. 输出结果一：数据概览与前提检验
2. 输出结果二：Gamma 回归系数表
3. 输出结果三：系数森林图
4. 输出结果四：效应量与事后分析
5. 输出结果五：结论与学术表述