Hotelling T²多元控制图

所属分类：质量控制

这个方法是做什么的

把多个相关的质量特性合成一个数来监控。每一行是同一件产品或同一时点的一组多元观测，模块算出它到多元中心的马氏距离平方 T²ᵢ=(xᵢ−x̄)′S⁻¹(xᵢ−x̄)，把这一列 T² 画成控制图。马氏距离已经按协方差结构标准化，因此它不仅看每个变量偏了多少，还看变量之间的相关关系有没有被破坏——这是分别作若干张单变量控制图做不到的事。控制限用相位 I 的 Beta 型：T² 的数学上界是 (m−1)²/m，UCL 取该上界乘以 Beta(p/2,(m−p−1)/2) 的 1−α 分位数（α=0.0027）；T² 恒非负，故 LCL=0。

因为“把 p 维压成一个数”既是优点也是代价，报告在两端各做了一层功课。前端（卡①）验证“该不该用 T²”：各变量的 Shapiro-Wilk 边缘正态、Mardia 多元偏度与峰度检验、Bartlett 球形度检验（变量彼此独立时 T² 没有信息增益）、相关矩阵的 VIF 与条件数（严重共线会让 S⁻¹ 不稳）、以及 m/p 比和 m≥p+2 的可行性条件。后端（卡④）把报警的 T² 拆回各质量特性：给每个失控观测逐变量的 z 值、z² 占 Σz² 的贡献比、单变量 p 与 Bonferroni 校正 p，用来定位责任变量。本图不给 Nelson 或西部电气判异准则表。

需要准备什么数据

• 放入[定量]质量特性列：至少 2 个，定量变量（数值）

数据要求

• 数据表至少 20 行。
• 单列缺失率不超过 10%。
• 不接受取值全都一样的列（零方差列没有可分析的变异）。

以上条目由系统从该方法的校验规则直接生成，与上传数据时的实际拦截规则一致。

什么时候用它

• 同一件产品有若干个彼此相关的质量特性（长宽高、多个成分含量、多路传感器读数）
• 分别作单变量图时误报率会累积：p 张 3σ 图并用，整体误报率明显高于单张图的 0.27%
• 怀疑问题出在“变量之间的配合关系”上，而不是某个变量单独越界
• 需要对一批历史数据做回顾性筛查，找出应当剔除的异常观测再建立基准

前提：至少 2 个定量质量特性，且它们之间确有相关性；每行是同一时点的一组完整观测（任一变量缺失即整行剔除，因为 T² 必须在完整的 p 维向量上计算）；观测数 m 必须满足 m≥p+2，否则相位 I 的 Beta 控制限无法确定；各列不得为常数、变量间不得完全共线（协方差矩阵会奇异）。数据要求把行数下限定在 20，少于 20 行会被前置校验拦下，实践中还应保证 m 远大于 p，卡①会给出 m/p 比。

什么时候不要用它

• 只有一个质量特性：直接用「单值-移动极差(I-MR)控制图」，或有子组时用「X-bar/R 控制图」「X-bar/S 控制图」。
• 各变量之间几乎不相关（卡①的 Bartlett 球形度检验不显著）：T² 相对分别作图没有信息增益，反而更难解释，拆开用「单值-移动极差(I-MR)控制图」逐个监控。
• 变量太多或存在严重共线：S⁻¹ 数值不稳会放大个别观测的 T²，先用「主成分分析(PCA)」降到少数几个互不相关的主成分，或先用「VIF共线性诊断」找出并剔除冗余变量。
• 要比较的是几个组之间的多元均值差异，而不是一条序列的稳定性：用「多变量方差分析」。
• 只想看变量之间相关有多强：用「Pearson相关性分析」，不必绕道控制图。
• 数据是计数或比率：T² 的控制限由多元正态假设导出，计数请用「c 图」「u 图」「P 图」或「np 图」。

容易误读的地方

• 平均 T² 是个代数恒等式，永远等于 p(m−1)/m，拿它诊断等于什么都没说。 相位 I 下 Σᵢ T²ᵢ ≡ p(m−1) 与数据无关，所以演示数据的平均 T²=2.950 换成任何一份数据都是这个值。卡①与卡④都为此加了说明，并改用中位数（受控理论值 2.380，实测 1.881）和离散度（受控理论 SD 2.308，实测 3.587，比值 1.554）来刻画离群格局。看到平均 T² 不高就以为过程正常，是被一个恒等式骗了。
• 同一个恒等式还意味着各点的 T² 彼此不独立。 总和固定，任一点变大必然伴随其余点变小。卡②那张逐点明细表的表注说明，逐点 p 值由边缘 Beta 分布算得、忽略了这种负相关，因此 Holm 校正后的 p 偏保守、只作参考性判据（Holm 校正 p 那一列也在卡②，不在卡④）。别把校正后的 p 当成精确的多重检验结论。
• T² 报警时不知道是谁的问题，必须看分解表；而分解表本身也有边界。 卡④的贡献比按 zⱼ² 占 Σzⱼ² 计算，表注明说 Σzⱼ² 只有在变量彼此不相关时才等于 T²，存在相关时二者不等，该表给的是各变量偏离的相对量级而非 T² 的精确可加分解。演示数据第 18 号观测由长度主导（z=3.846，贡献 79.6%），第 42 号由厚度主导（z=3.312，贡献 96.4%），两者都能直接定位到工序。
• 单变量全部正常、T² 却越限，这才是 T² 真正在报的东西。 卡②的结论文案与卡④表注都点明了这一情形：它说明异常出在变量之间的相关结构上——比如长和宽本该同增同减，某一件却一个变大一个变小，每个都在各自的 3σ 内，配合关系却坏了。这时贡献比会显得平均、没有明显责任变量，报告建议进一步做 MYT 条件分解，该分解产品目前不提供，需要另行计算或从工艺角度排查配合关系。
• 本报告给的是相位 I 的控制限，直接拿去做在线监控是用错了口径。 相位 I 是回顾性的：绘制的正是用来估计 x̄ 与 S 的同一批观测，所以控制限用 Beta 型。对新观测做实时监控应改用相位 II 的 F 型控制限，本模块不产出。卡⑤给的标准流程是迭代：剔除已查明原因的失控观测 → 重估 x̄ 与 S → 重算控制限，直到剩余观测全部受控，这组参数才可用于后续监控。
• 多元正态被拒绝时，UCL 的名义误报率就不再是 0.27%。 演示数据 Mardia 多元偏度 A=40.886（p<0.001）、多元峰度 B=5.011（p<0.001）都拒绝了多元正态，卡①的结论文案随即说明控制限的实际误报率会偏离名义值。要注意边缘正态只是必要条件：演示数据里 3 个变量有 2 个通过了 Shapiro-Wilk，联合分布照样被 Mardia 拒绝——只看逐变量正态性检验会得出过于乐观的结论。

报告里有什么

1. 输出结果一：数据概览与前提检验
2. 输出结果二：控制限与判异检验（主结果）
3. 输出结果三：Hotelling T² 控制图可视化
4. 输出结果四：效应量与事后分析
5. 输出结果五：结论与解读