EWMA控制图

所属分类：质量控制

这个方法是做什么的

用指数加权移动平均代替原始观测来监控过程均值：zᵢ=λxᵢ+(1−λ)zᵢ₋₁。离现在越近的观测权重越大，越久远的权重按 (1−λ) 的幂次衰减，于是随机噪声被平滑掉、持续的小幅漂移被逐步累积出来。控制限是 μ0±L·σ·√[λ/(2−λ)·(1−(1−λ)^(2i))]，随序号 i 单调变宽并趋于稳态半宽 L·σ·√(λ/(2−λ))。λ 与 L 由控件给定（默认 λ=0.2、L=3），σ 由平均移动极差反估（MR̄/1.128），所以行序必须是真实的采集顺序。

λ 是这张图唯一真正的旋钮：λ 越小平滑越强、对 0.5σ 以内的小漂移越灵敏，但对更大的偏移与突变反而变慢（反转点见下文）；λ=1 时 EWMA 退化成休哈特单值图。报告因此把“这套 λ 与 L 到底能多快发现多大的漂移”做成了一张正式的表——卡④的 ARL 曲线由 Brook & Evans (1972) 的马尔可夫链法数值求解（101 个状态），不是查表值，并逐行与同条件的休哈特单值图对照。卡④还把序列按时间等分为 6 个时段，逐段与其余时段作 Welch t 检验（Hedges' g、Holm 校正），定位漂移落在哪一段。卡①检查正态性、一阶自相关，以及 σ/s 之比是否提示序列已有漂移。

需要准备什么数据

• 放入[定量]测量序列：1 个

数据要求

• 数据表至少 25 行。
• 单列缺失率不超过 10%。
• 不接受取值全都一样的列（零方差列没有可分析的变异）。

以上条目由系统从该方法的校验规则直接生成，与上传数据时的实际拦截规则一致。

什么时候用它

• 需要尽早发现 0.5σ~1.5σ 量级的中心漂移，而休哈特图迟迟不报警
• 数据噪声较大、单点跳动频繁，希望先平滑再判断，避免被单点噪声牵着走
• 想通过调 λ 在“灵敏度”与“抗噪”之间显式取舍，并拿 ARL 表核对代价
• 已有一列按时间排好的单值测量，想在同一张图上同时看到原始值（淡色细线）与 EWMA 趋势（折线）

前提：每行是一个按时间先后排列的单值观测，不是子组汇总值；受控时观测近似正态且相互独立；测量列不得为常数（否则 MR̄=0，无法估计 σ）。数据要求把行数下限定在 25，少于 25 行会被前置校验拦下——观测越少，σ 与控制限越不稳。控件里 λ 的常用区间是 0.05~0.25、L 常取 2.6~3.0，卡①会核对你填的值是否落在这个范围里。

什么时候不要用它

• 要抓的是突发跳变：平滑会把单点异常摊薄，卡④的 ARL 表显示 3σ 幅度偏移时 EWMA 需 2.4 个观测、休哈特单值图只需 2.0 个，请用「单值-移动极差(I-MR)控制图」。
• 每个时点能取到多件样本：用「X-bar/R 控制图」或「X-bar/S 控制图」，子组均值本身已经压低了噪声，还能同时监控组内波动。
• 需要报警之后立刻知道漂移大约有多少个 σ、发生在哪一段：「CUSUM累积和控制图」用累积段与偏移量反推式直接给出这两个答案，EWMA 只给最大偏移量与等分时段。
• 序列存在显著自相关：EWMA 的名义误报率会失真，先用「时间序列分析(ARIMA)」建模再对残差作图；想看清自相关结构用「(偏)自相关分析」。
• 数据是原始计数：本图的控制限来自正态假设，计数请用「P 图」「np 图」「c 图」或「u 图」——它们的限来自二项/泊松。例外是你要抓的正是计数的小幅持续漂移（3σ 计数图的短板）：可先自己算一列标准化残差 z（如 (cᵢ−c̄)/√c̄）再喂进本图，注意中心线仍取 z 序列自己的均值、σ 仍由 MR̄/1.128 反估而不是取 1。
• 关心的是波动而不是中心：本图只监控均值，波动请看「X-bar/S 控制图」的 S 图或「单值-移动极差(I-MR)控制图」的 MR 图。

容易误读的地方

• 控制限前窄后宽是构造使然，但它不意味着开头更容易越限。 z₁ 只累积了一个观测，方差远小于稳态方差，所以第 1 点的控制限最窄：演示数据首点区间 [249.3475, 250.9875] 宽 1.6400，稳态区间 [248.8009, 251.5342] 宽 2.7333，后者是前者的 1.667 倍。限窄与 zᵢ 自身波动小恰好抵消——半宽与 SD(zᵢ) 之比恒等于 L=3，故受控时逐点名义误报率始终是 0.0027、与序号无关，这正是要用时变限的理由。真正的后果在反方向：zᵢ 对持续偏移的响应要靠累加才长得起来，开头几点最钝，怀疑开机初期就已偏移时，EWMA 的头几个点恰恰最不该指望。演示数据唯一的失控点落在第 50 点，前几点全部受控。
• L=3 不等于“每 370 个点误报一次”。 卡②给出的单点名义误报率确实是 α=2[1−Φ(3)]=0.002700，但卡④算出的受控 ARL₀ 是 558.8，不是 1/0.0027=370.4。原因是相邻 EWMA 统计量共享大量历史信息、高度相关，误报不是独立事件，所以“单点误报率”与“平均误报间隔”不成倒数关系。把 L 当成休哈特的“几倍 σ”去理解，会误判这张图的报警节奏。
• 卡②那个精确二项检验只是参考，报告自己说明了原因。 它的原假设要求各点独立以 α 误报，而 EWMA 的点根本不独立，卡②的图注写明实际水平高于名义值。演示数据它给 p=0.194（1 个越限点不算多），但卡④的分时段比较在 Holm 校正后仍有 1 个时段显著（第 4 段，观测 42~54，校正 p=0.030），卡⑤把两者合并后判为失控。只看那个 p=0.194 会漏掉真正的证据。
• 分时段比较的段界是等分切出来的，与漂移的真实起止无关。 表注写明序列按时间顺序等分为 6 个时段。若一次漂移恰好横跨两段，它在每一段里都被“没漂移的那半段”稀释，两段可能都不显著——漂移越短、跨界越居中，被稀释得越厉害。所以这张表能确认“某段确实偏了”，却不能用来断言“别的段都正常”。要定位漂移的真实起止区间，「CUSUM累积和控制图」的累积段更合适。
• “λ 越小越灵敏”只在把 ARL₀ 拉回同一水平之后才成立。 教科书那句话的前提是调小 λ 的同时调 L、让受控 ARL₀ 保持不变，而本模块的 λ 与 L 可以各改各的。L 固定 3.0、把 λ 从 0.2 调到 0.05：ARL₀ 从 558.8 涨到 1365.7，0.25σ 漂移的 ARL₁ 从 163.0 降到 133.4（更快），1σ 漂移却从 10.8 升到 13.5（更慢）。反转点落在 0.5σ 与 1σ 之间，正好横穿上文写的 0.5σ~1.5σ 主场区间，所以定 λ 之前要按你真正想抓的漂移幅度去查卡④那张 ARL 表，而不是照搬“越小越灵敏”。同理，λ 是设计参数、不许拿它去凑显著：试几个 λ 直到有点越限，等于在做没有校正的多重检验。卡⑤要求报告时完整说明 λ、L、σ 的估计口径与相位，正是为了让读者能核对这一点。
• σ 用移动极差反估而不是样本标准差，这个选择会影响你的判读。 MR̄ 只吸收相邻两点的波动，对缓慢漂移不敏感，因此 σ 反映的是过程的“短期固有波动”；样本标准差 s 则把漂移也算了进去。演示数据 σ=1.3667、s=1.4383、σ/s=0.950，两者接近说明未见明显漂移。若某次分析里 σ/s 明显小于 1，说明序列早已带着漂移，此时控制限相对“干净”的短期波动画出，越限点会变多——这是对的，但你要知道信号从哪来。

报告里有什么

1. 输出结果一：数据概览与前提检验
2. 输出结果二：控制限与稳态检验（主结果）
3. 输出结果三：EWMA 控制图可视化
4. 输出结果四：效应量与事后分析
5. 输出结果五：结论与解读