中心复合设计(CCD)

这个方法是做什么的

不读数据表，按“因子数 k”（2–5）与“中心点数”（1–10）生成中心复合设计的编码试验矩阵。它由三组点拼成：2^k 个析因角点（坐标 ±1）负责主效应与交互，2k 个星点（轴点，坐标 ±α）提供轴向拉伸以估计二次曲率，若干中心点（全 0）提供纯误差与失拟检验。试验次数 N = 2^k + 2k + 中心点数：实测 k=2、中心点 4 需 12 次，k=3 需 18 次，k=4 需 28 次，k=5 需 46 次。因此每个因子有 5 个水平：−α、−1、0、+1、+α。

星臂 α 由引擎按可旋转准则取 (2^k)^(1/4)，实测 k=2 为 1.4142、k=3 为 1.6818、k=4 为 2.0000、k=5 为 2.3784；卡④ 的旋转性矩条件比值实测恒为 1.0000，判定“可旋转”。除此之外第四张卡还给正交性、绝对与相对 D-效率、G-效率、最大缩放预测方差、二阶项 VIF、模型矩阵条件数、各因子的水平频次明细，以及纯误差与失拟自由度。

什么时候用它

因子已经筛过、进入优化阶段，要二阶模型与最优工艺点
希望预测精度在各个方向上一致——卡④ 的结论文案就把可旋转称作中心复合设计相对其它二阶设计的核心优势
因子的取值可以推到你设定的高低水平之外一点（α 倍半步长仍在设备与安全范围内）
同时也想要角点上的信息，而这正是「Box-Behnken设计」没有的

前提：星点落在 [−1,+1] 之外，实施前必须逐个核算 ±α 对应的实际值是否可行，卡⑤ 第 1 步就是干这件事。中心点是纯误差与失拟检验的唯一来源，纯误差自由度等于中心点数减 1，报告建议二阶响应面取 3–6 个。卡① 还会算出剩余自由度 N−p：实测 k=3、中心点 4 时为 8，这些自由度用于误差估计，太少会让后续的模型检验非常勉强。

什么时候不要用它

±α 水平做不出来（浓度会变成负数、温度超设备上限）：改用「Box-Behnken设计」，它所有点都落在 [−1,+1] 内。注意本模块固定输出可旋转的 α，不提供 α=1 的面心中心复合设计。
因子超过 5 个：本模块 k 上限是 5，先用「正交设计」或「均匀设计」筛掉不重要的因子。
只想排出因子主次，不打算做曲面：用「正交设计」排方案，取得数据后用「极差分析」。
因子是定类的（催化剂品种、供应商），谈不上 ±α 这种连续外推：用「全因子设计」或「正交设计」。
试验已经做完、手上是响应数据：本模块只生成方案，建模寻优交给「响应面分析(RSM)」。上传时星点那 2k 行必须一并带上：把它们去掉后实测（k=3、只留 8 个析因点与 6 个中心点），各平方项会退化成同一列，前提检验的“模型矩阵满秩”一行报“秩亏——rank(X)=8，模型项 10 个”。

容易误读的地方

α 不等于 1，星点在你设定的高低水平之外，忘了这件事排产就会出事。 实测 k=3 时 α=1.6818，卡② 的结论文案与卡⑤ 的表注都点名：那 6 次星点试验的水平超出 [−1,+1]。如果你把 −1/+1 定成 60℃/80℃（中心 70、半步长 10），星点就是 53.2℃ 与 86.8℃；k=5 时 α=2.3784，外推更远。先核算再排产，而不是做到一半才发现某个水平做不出来。
每个因子的 ±α 各只做一次，废掉一个星点就废掉那个因子的二次项。 卡④ 的水平分布明细实测 k=3、中心点 4 时各水平频次是 1、4、8、4、1——±α 各出现 1 次。卡② 结论文案原话：星点行只有一个因子取 ±α、其余全为 0，是估计该因子二次项的关键点，不可省略。所以星点那几次要优先保证测量质量，出了废品必须补做。
“相对 D-效率 1.49”不是说它比全因子还高效——那是在跟一个更小的试验域比。 卡④ 表注写得很清楚：星点位于 [−1,+1] 之外，试验域比 3^k 全因子更大，这会抬高 |X'X|，故该比值可能大于 1，解读时须连同试验域范围一起看。同一张表里的绝对 D-效率只有 0.6571。
中心点必须真做 n 次，不能把一次结果复制成 n 行。 卡② 的结论文案专门交代：中心点那几行必须真实重复测量，而不是复制同一次结果。复制出来的行会让纯误差趋近于 0，于是失拟均方除以一个近乎 0 的分母，失拟检验几乎必然显著——“模型不充分”这个结论就完全是自己造出来的。
析因点与星点并不在同一个球面上，只是很接近，别把这当成设计有毛病。 卡③ 的距离分层实测 k=3 时是三层：中心点 R=0（4 点）、星点 R=α=1.6818（6 点）、析因角点 R=√k=1.7321（8 点）。报告的结论文案说明 α 与 √k 接近时设计近似球面设计，而 α 的取值正是通过改变这个几何来控制旋转性的。两个半径不相等是构造使然，不是参数填错了。
可旋转说的是预测方差的性质，与“最优点找得准不准”是两回事。 可旋转意味着预测方差只取决于点到中心的距离，各方向等精度；它不保证二阶模型的设定是对的。模型够不够用，要等取得数据后由「响应面分析(RSM)」的失拟检验回答，而失拟检验又依赖中心点重复——两件事在这里连成一条链，缺哪一环都补不上。